Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на …
Вопрос
Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 5 и на 9, получив в каждом из случаев некоторый остаток. Сумма этих остатков равна 15. Какой остаток даёт задуманное Ваней число при делении на 15? Запишите решение и ответ.
Ответы ( 2 )
Остаток при делении числа на 4 меньше или равен 3, при делении на 5 – меньше или равен 4, при делении на 9 – меньше или равен 8. Так как сумма этих остатков равна 15 = 3 + 4 + 8, они на самом деле равны соответственно 3, 4 и 8.
Если задуманное число увеличить на 1, то оно разделится на 4, 5 и 9, значит, оно разделится на НОД(4;5;9) = 180 = 15 • 12. Но наше число на единицу меньше и это 179, поэтому задуманное число 179 при делении на 15 даёт целую часть 11 и остаток 14.
Так как сумма максимально возможных остатков при делении на 4, на 5 и на 9 равна 15, то остатки равны соответственно 3, 4 и 8.
Значит, если к задуманному числу прибавить 1, то это число будет делиться нацело на 4,5, и 9. Такое минимально возможное число это 4 · 5 · 9 = 180.
Тогда задуманное Ваней число это 180 1 = 179. Таким образом, остаток от деления 179 на 15 составляет 14.
Ответ:
14.